บทที่ 1 พื้นฐานจำนวนจริง & สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
📌 ทฤษฎีสำคัญในบทนี้
1. จำนวนจริง & การจัดลำดับ
- จำนวนเต็ม, เศษส่วน, ทศนิยม, จำนวนตรรกยะ / อตรรกยะ
- เครื่องหมาย <, >, ≤, ≥ และการเขียนบนเส้นจำนวน
- เครื่องหมาย <, >, ≤, ≥ และการเขียนบนเส้นจำนวน
2. สมบัติการคำนวณพื้นฐาน
การบวก ลบ คูณ หาร การแจกแจง (a(b + c) = ab + ac) และการใช้วงเล็บให้ถูกต้อง
3. ความหมายของสมการ
สมการคือประโยคที่มีเครื่องหมาย “=” และมีตัวไม่ทราบค่า (ตัวแปร) เช่น x, y
4. วิธีแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ใช้หลัก “ทำเหมือนกันทั้งสองข้าง” เช่น บวกจำนวนเท่ากัน หารจำนวนเท่ากัน (ยกเว้น 0)
🧮 ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยทีละขั้น
ตัวอย่างที่ 1: จงแก้สมการ 2x + 3 = 11
ขั้นที่ 1: ย้าย 3 ไปอีกข้างโดยลบ 3 ทั้งสองข้าง
➜ 2x + 3 − 3 = 11 − 3
➜ 2x = 8
ขั้นที่ 2: หารทั้งสองข้างด้วย 2
➜ 2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
➜ x = 4
ตอบ: x = 4
ขั้นที่ 1: ย้าย 3 ไปอีกข้างโดยลบ 3 ทั้งสองข้าง
➜ 2x + 3 − 3 = 11 − 3
➜ 2x = 8
ขั้นที่ 2: หารทั้งสองข้างด้วย 2
➜ 2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
➜ x = 4
ตอบ: x = 4
ตัวอย่างที่ 2: จงแก้สมการ 5 − 3x = 2
ขั้นที่ 1: ย้าย 5 ไปอีกข้างโดยลบ 5 ทั้งสองข้าง
➜ 5 − 3x − 5 = 2 − 5
➜ −3x = −3
ขั้นที่ 2: หารทั้งสองข้างด้วย −3
➜ (−3x) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3)
➜ x = 1
ตอบ: x = 1
ขั้นที่ 1: ย้าย 5 ไปอีกข้างโดยลบ 5 ทั้งสองข้าง
➜ 5 − 3x − 5 = 2 − 5
➜ −3x = −3
ขั้นที่ 2: หารทั้งสองข้างด้วย −3
➜ (−3x) ÷ (−3) = (−3) ÷ (−3)
➜ x = 1
ตอบ: x = 1
เคล็ดลับ: ถ้าค่าสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรเป็นลบ (-) ควรระวังเครื่องหมายเมื่อหารหรือคูณ
✏️ แบบฝึกหัด บทที่ 1 (พร้อมเฉลยซ่อน)
แบบฝึกหัดห้องเรียน สำหรับการบ้าน
พื้นฐาน
ข้อ 1
แก้สมการ x + 7 = 15
x + 7 = 15
ลบ 7 ทั้งสองข้าง ➜ x = 15 − 7 = 8
ตอบ: x = 8
ลบ 7 ทั้งสองข้าง ➜ x = 15 − 7 = 8
ตอบ: x = 8
พื้นฐาน
ข้อ 2
แก้สมการ 4x − 5 = 19
4x − 5 = 19
บวก 5 ทั้งสองข้าง ➜ 4x = 24
หาร 4 ทั้งสองข้าง ➜ x = 6
ตอบ: x = 6
บวก 5 ทั้งสองข้าง ➜ 4x = 24
หาร 4 ทั้งสองข้าง ➜ x = 6
ตอบ: x = 6
ปานกลาง
ข้อ 3
แก้สมการ 3(x − 2) = 12
ขยายวงเล็บ: 3x − 6 = 12
บวก 6 ทั้งสองข้าง ➜ 3x = 18
หาร 3 ➜ x = 6
ตอบ: x = 6
บวก 6 ทั้งสองข้าง ➜ 3x = 18
หาร 3 ➜ x = 6
ตอบ: x = 6
ท้าทาย
ข้อ 4
แก้สมการ 2(3x + 1) − 4 = 10
ขยายวงเล็บ: 6x + 2 − 4 = 10
จัดรูป: 6x − 2 = 10
บวก 2 ทั้งสองข้าง ➜ 6x = 12
หาร 6 ➜ x = 2
ตอบ: x = 2
จัดรูป: 6x − 2 = 10
บวก 2 ทั้งสองข้าง ➜ 6x = 12
หาร 6 ➜ x = 2
ตอบ: x = 2
กดปุ่มเพื่อสุ่มโจทย์จากบทนี้
บทที่ 2 พหุนาม & การแยกตัวประกอบ
📌 ทฤษฎีพหุนาม
- พหุนาม คือ กำหนดการที่ประกอบด้วยพจน์หลายพจน์ เช่น 2x² + 3x − 5
- ดีกรี (degree) คือ เลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปร เช่น 2x² + 3x − 5 มีดีกรี = 2
- การบวก/ลบพหุนาม รวมพจน์ที่เหมือนกัน เช่น 2x + 3x = 5x
- การคูณพหุนาม ใช้การแจกแจง เช่น (x + 2)(x + 3)
- การแยกตัวประกอบ คือการเขียนพหุนามให้เป็นรูปผลคูณของวงเล็บ เช่น x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
🧮 ตัวอย่างการแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 1: แยกตัวประกอบ x² + 5x + 6
มองหาเลขสองจำนวนที่
- ผลคูณ = 6
- ผลบวก = 5
จะได้ 2 และ 3
ดังนั้น x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
มองหาเลขสองจำนวนที่
- ผลคูณ = 6
- ผลบวก = 5
จะได้ 2 และ 3
ดังนั้น x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
ตัวอย่างที่ 2: แยกตัวประกอบ x² − 9
รูปแบบผลต่างกำลังสอง: a² − b² = (a − b)(a + b)
x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)
รูปแบบผลต่างกำลังสอง: a² − b² = (a − b)(a + b)
x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)
รูปแบบสำคัญ: a² − b², (x + a)(x + b), การดึงตัวประกอบร่วม เช่น 2x² + 4x = 2x(x + 2)
✏️ แบบฝึกหัด บทที่ 2
พื้นฐาน
ข้อ 1
แยกตัวประกอบ 2x² + 4x
ดึงตัวประกอบร่วม: 2x² + 4x = 2x(x + 2)
ตอบ: 2x(x + 2)
ตอบ: 2x(x + 2)
พื้นฐาน
ข้อ 2
แยกตัวประกอบ x² + 7x + 10
ต้องการเลขสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
คือ 5 และ 2
ดังนั้น x² + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)
คือ 5 และ 2
ดังนั้น x² + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)
ปานกลาง
ข้อ 3
แยกตัวประกอบ x² − 16
x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4)
ท้าทาย
ข้อ 4
แยกตัวประกอบ 3x² + 9x
ดึงตัวประกอบร่วม: 3x² + 9x = 3x(x + 3)
กดปุ่มเพื่อสุ่มโจทย์จากบทนี้
บทที่ 3 สมการเชิงเส้นสองตัวแปร & กราฟเส้นตรง
📌 ทฤษฎีระบบสมการสองตัวแปร
- สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เช่น 2x + 3y = 6
- วิธีแก้ระบบสมการ ที่นิยม
- วิธีแทนค่า (Substitution)
- วิธีบวกหรือลบสมการ (Elimination)
- วิธีใช้กราฟ
- กราฟของสมการเชิงเส้นเป็นเส้นตรงบนระนาบ x-y
- รูปแบบ y = mx + c, m คือ ความชัน, c คือ จุดตัดแกน y
🧮 ตัวอย่างแก้ระบบสมการ
ตัวอย่าง:
แก้ระบบสมการ
(1) x + y = 7
(2) x − y = 1
ใช้วิธีบวกสมการ (Elimination)
นำ (1) + (2):
(x + y) + (x − y) = 7 + 1
➜ 2x = 8
➜ x = 4
แทนค่า x = 4 ในสมการ (1):
4 + y = 7 ➜ y = 3
ตอบ: (x, y) = (4, 3)
แก้ระบบสมการ
(1) x + y = 7
(2) x − y = 1
ใช้วิธีบวกสมการ (Elimination)
นำ (1) + (2):
(x + y) + (x − y) = 7 + 1
➜ 2x = 8
➜ x = 4
แทนค่า x = 4 ในสมการ (1):
4 + y = 7 ➜ y = 3
ตอบ: (x, y) = (4, 3)
✏️ แบบฝึกหัด บทที่ 3
พื้นฐาน
ข้อ 1
แก้ระบบสมการ x + y = 10, x − y = 2
บวกสองสมการ: (x + y) + (x − y) = 10 + 2
➜ 2x = 12 ➜ x = 6
แทน x = 6 ใน x + y = 10
➜ 6 + y = 10 ➜ y = 4
ตอบ: (x, y) = (6, 4)
➜ 2x = 12 ➜ x = 6
แทน x = 6 ใน x + y = 10
➜ 6 + y = 10 ➜ y = 4
ตอบ: (x, y) = (6, 4)
ปานกลาง
ข้อ 2
แก้ระบบสมการ 2x + y = 8, x − y = 1
จาก x − y = 1 ➜ x = y + 1 (แทนค่า)
แทนใน 2x + y = 8
2(y + 1) + y = 8
2y + 2 + y = 8
3y + 2 = 8 ➜ 3y = 6 ➜ y = 2
แล้ว x = y + 1 = 3
ตอบ: (x, y) = (3, 2)
แทนใน 2x + y = 8
2(y + 1) + y = 8
2y + 2 + y = 8
3y + 2 = 8 ➜ 3y = 6 ➜ y = 2
แล้ว x = y + 1 = 3
ตอบ: (x, y) = (3, 2)
พื้นฐาน
ข้อ 3
วาดกราฟ y = 2x + 1 (หาอย่างน้อย 3 จุด)
เลือกค่า x ง่าย ๆ: x = 0, 1, −1
x = 0 ➜ y = 1 ➜ จุด (0, 1)
x = 1 ➜ y = 3 ➜ จุด (1, 3)
x = −1 ➜ y = −1 ➜ จุด (−1, −1)
นำ 3 จุดนี้ไปลงกราฟแล้วลากเส้นตรงผ่าน
x = 0 ➜ y = 1 ➜ จุด (0, 1)
x = 1 ➜ y = 3 ➜ จุด (1, 3)
x = −1 ➜ y = −1 ➜ จุด (−1, −1)
นำ 3 จุดนี้ไปลงกราฟแล้วลากเส้นตรงผ่าน
กดปุ่มเพื่อสุ่มโจทย์จากบทนี้
บทที่ 4 เรขาคณิต & ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
📌 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
- ถ้าให้ด้านประกอบมุมฉากยาว a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c
จะได้: a² + b² = c² - ใช้ตรวจสอบว่าสามเหลี่ยมเป็นมุมฉากหรือไม่ โดยเช็คว่า a² + b² = c² หรือไม่
🧮 ตัวอย่างพีทาโกรัส
ตัวอย่าง: ในสามเหลี่ยมมุมฉากด้านประกอบมุมฉากยาว 6 ซม. และ 8 ซม.
จงหาระยะด้านตรงข้ามมุมฉาก (c)
ใช้สูตร a² + b² = c²
6² + 8² = c²
36 + 64 = c²
100 = c²
c = √100 = 10 (ซม.)
ตอบ: ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 ซม.
จงหาระยะด้านตรงข้ามมุมฉาก (c)
ใช้สูตร a² + b² = c²
6² + 8² = c²
36 + 64 = c²
100 = c²
c = √100 = 10 (ซม.)
ตอบ: ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 ซม.
✏️ แบบฝึกหัด บทที่ 4
พื้นฐาน
ข้อ 1
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉาก 3 ซม. และ 4 ซม. จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = 25 = c²
c = 5 ซม.
3² + 4² = c²
9 + 16 = 25 = c²
c = 5 ซม.
ปานกลาง
ข้อ 2
เสาไฟสูง 5 เมตร พิงกำแพง ทำให้ปลายเสาอยู่สูงจากพื้น 4 เมตร จงหาว่าโคนเสาอยู่ห่างกำแพงกี่เมตร
ให้กำแพงเป็นด้านตั้งสูง 4, เสาเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก 5, ระยะห่างโคนเสาถึงกำแพงเป็นฐาน a
a² + 4² = 5²
a² + 16 = 25
a² = 9 ➜ a = 3 เมตร
a² + 4² = 5²
a² + 16 = 25
a² = 9 ➜ a = 3 เมตร
พื้นฐาน
ข้อ 3
สามเหลี่ยมมีด้านยาว 6, 8, 10 ซม. เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
ตรวจว่า 6² + 8² = 10² หรือไม่
36 + 64 = 100
ด้านขวาก็ 100 เช่นกัน ดังนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
36 + 64 = 100
ด้านขวาก็ 100 เช่นกัน ดังนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
กดปุ่มเพื่อสุ่มโจทย์จากบทนี้
บทที่ 5 สถิติพื้นฐาน
📌 ทฤษฎีสถิติพื้นฐาน
- ค่าเฉลี่ย (Mean) = ผลรวมของข้อมูล ÷ จำนวนข้อมูล
- มัธยฐาน (Median) = ค่ากลางเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
- ฐานนิยม (Mode) = ค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด
🧮 ตัวอย่างหาค่าเฉลี่ย / มัธยฐาน / ฐานนิยม
ตัวอย่าง: คะแนนสอบคณิตของนักเรียน 7 คนคือ
5, 7, 7, 8, 9, 9, 9
1) ค่าเฉลี่ย
ผลรวม = 5 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 9 = 54
จำนวนข้อมูล = 7
ค่าเฉลี่ย = 54 ÷ 7 ≈ 7.71
2) มัธยฐาน
มี 7 ค่า ค่าที่อยู่ตำแหน่งกลางคืออันดับที่ 4 (เมื่อเรียงแล้ว)
ค่าที่ 4 คือ 8 ดังนั้นมัธยฐาน = 8
3) ฐานนิยม
ค่าที่ออกบ่อยที่สุดคือ 9 (ออก 3 ครั้ง)
ดังนั้นฐานนิยม = 9
5, 7, 7, 8, 9, 9, 9
1) ค่าเฉลี่ย
ผลรวม = 5 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 9 = 54
จำนวนข้อมูล = 7
ค่าเฉลี่ย = 54 ÷ 7 ≈ 7.71
2) มัธยฐาน
มี 7 ค่า ค่าที่อยู่ตำแหน่งกลางคืออันดับที่ 4 (เมื่อเรียงแล้ว)
ค่าที่ 4 คือ 8 ดังนั้นมัธยฐาน = 8
3) ฐานนิยม
ค่าที่ออกบ่อยที่สุดคือ 9 (ออก 3 ครั้ง)
ดังนั้นฐานนิยม = 9
✏️ แบบฝึกหัด บทที่ 5
พื้นฐาน
ข้อ 1
จงหาค่าเฉลี่ยของข้อมูล: 6, 7, 8, 9
ผลรวม = 6 + 7 + 8 + 9 = 30
จำนวนข้อมูล = 4
ค่าเฉลี่ย = 30 ÷ 4 = 7.5
จำนวนข้อมูล = 4
ค่าเฉลี่ย = 30 ÷ 4 = 7.5
พื้นฐาน
ข้อ 2
ข้อมูล: 2, 4, 4, 5, 7 จงหามัธยฐาน
มี 5 ค่า ค่ากลางคืออันดับที่ 3 = 4
ดังนั้นมัธยฐาน = 4
ดังนั้นมัธยฐาน = 4
พื้นฐาน
ข้อ 3
ข้อมูล: 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8 จงหาฐานนิยม
3 ปรากฏ 2 ครั้ง, 7 ปรากฏ 3 ครั้ง, 5 และ 8 ครั้งละ 1
ค่าที่ออกบ่อยที่สุดคือ 7
ดังนั้นฐานนิยม = 7
ค่าที่ออกบ่อยที่สุดคือ 7
ดังนั้นฐานนิยม = 7
กดปุ่มเพื่อสุ่มโจทย์จากบทนี้
บทที่ 6 ความน่าจะเป็น
📌 ทฤษฎีความน่าจะเป็น
- ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เขียน P(A)
- ค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ
- สูตรพื้นฐาน: P(A) = จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของ A ÷ จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด
🧮 ตัวอย่างความน่าจะเป็น
ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก (มีหน้า 1 ถึง 6 อย่างละเท่า ๆ กัน)
จงหาความน่าจะเป็นที่จะออก
1) จำนวนคู่
2) จำนวนมากกว่า 4
คำตอบ:
ผลลัพธ์ทั้งหมด = {1, 2, 3, 4, 5, 6} มี 6 แบบ
1) จำนวนคู่ = {2, 4, 6} มี 3 แบบ
⇒ P(ออกจำนวนคู่) = 3 ÷ 6 = 1/2
2) จำนวนมากกว่า 4 = {5, 6} มี 2 แบบ
⇒ P(จำนวน > 4) = 2 ÷ 6 = 1/3
จงหาความน่าจะเป็นที่จะออก
1) จำนวนคู่
2) จำนวนมากกว่า 4
คำตอบ:
ผลลัพธ์ทั้งหมด = {1, 2, 3, 4, 5, 6} มี 6 แบบ
1) จำนวนคู่ = {2, 4, 6} มี 3 แบบ
⇒ P(ออกจำนวนคู่) = 3 ÷ 6 = 1/2
2) จำนวนมากกว่า 4 = {5, 6} มี 2 แบบ
⇒ P(จำนวน > 4) = 2 ÷ 6 = 1/3
✏️ แบบฝึกหัด บทที่ 6
พื้นฐาน
ข้อ 1
หยิบลูกบอลจากกล่องที่มีสีแดง 3 ลูก สีน้ำเงิน 2 ลูก ถ้าหยิบมาหนึ่งลูกแบบสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดง
ผลรวมลูกบอล = 3 + 2 = 5 ลูก
ผลลัพธ์ที่ต้องการ (สีแดง) = 3
P(แดง) = 3 ÷ 5
ผลลัพธ์ที่ต้องการ (สีแดง) = 3
P(แดง) = 3 ÷ 5
พื้นฐาน
ข้อ 2
ทอดเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะออก “หัว”
ผลลัพธ์ทั้งหมด = {หัว, ก้อย} มี 2 แบบ
ต้องการ “หัว” = 1 แบบ
P(หัว) = 1 ÷ 2 = 1/2
ต้องการ “หัว” = 1 แบบ
P(หัว) = 1 ÷ 2 = 1/2
ปานกลาง
ข้อ 3
ทอยลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะออกจำนวนไม่เกิน 3
จำนวนไม่เกิน 3 = {1, 2, 3} มี 3 แบบ
ผลลัพธ์ทั้งหมด = 6 แบบ
P(≤ 3) = 3 ÷ 6 = 1/2
ผลลัพธ์ทั้งหมด = 6 แบบ
P(≤ 3) = 3 ÷ 6 = 1/2
กดปุ่มเพื่อสุ่มโจทย์จากบทนี้